「同意書の送付」で親権者の同意を取るカードの場合、実質一人で、つまり親権者の同意を取らずに申し込むことは難しくありません。
このとき一体どういったデメリットがあるかと言うと、未成年者であることを理由に法律行為、この場合は物品購入などの取り消しが認められなくなります。
（詐術を行った制限行為能力者＝この場合は未成年者の行為は取り消しができない：民法２１条）

とは言え、これはデメリットと言うよりほとんど「当たり前」のことですね。
その他に考えられる問題を挙げるとすれば、

本来、『同意書の送付』で親権者の同意を取るカード会社が何らかの理由で親権者に電話を掛けたとき、（審査の仕様変更、提出書類に不審点がある場合など）同意を得られず審査落ち
といった状況などとなるでしょうか。もちろん単に「カードを使いすぎて取り返しがつかなくなる」といった問題も考えられます。（これは未成年者に限ったことではありませんが……）

そういうわけで同意書を送付するタイプの会社を選ぶ場合、「１００％親の同意なしでカードを作れないわけではないものの、無駄なリスクを避けるためには結局事前に同意は取っておくべき」というのが答えとなりますね。

仮に同意を得られないのなら、クレジットカードの代用品として使いやすい、銀行口座直結の「デビットカード」への申し込みをおすすめします。
（こちらは親の同意が原則不要／民法５条中の「法定代理人（親権者）が目的を定めて処分を許した財産（＝小遣い）」を使うものと見なされるためか）