未成年がクレジットカードを発行するのに必要なのが「親権者の同意」。これをどうやって取るのか、という点ですが……。
面倒なことに、この「同意」を得る方法はカード会社ごとにバラバラ。主な手段は「親権者への電話確認」「同意書の送付」の２つ。クレジットカードの場合、インターネット上の簡単なチェックだけで確認が済むことはほぼありません。
同意書の送付が必要なタイプのカード会社の場合、あなたが親元を離れて暮らしているのなら、一度郵送物のやり取りを交わす必要が出てきますね。
これを避けたいのなら、電話での確認を行っているクレジットカード会社を選ぶと良いでしょう。
（言うまでもなく、あなたが事前に親権者の同意を取っておく必要があります）

ちなみに、これまで携帯電話料金（正しくは端末代の分割払い）の支払いを長期間延滞させたりしていない限り、審査通過自体はさほど問題になりません。
これに関しても親権者の同意、つまり「仮にこの申込人が支払い不能に陥っても、親権者が何とかしてくれるだろう」という期待が含まれていると思われます。